Биномиальное распределение
- Теперь, когда у нас есть процесс Бернулли, возникает естественный вопрос: “Сколько успехов мы получим в \(n\) испытаниях?”
Биномиальное распределение описывает количество успехов в \(n\) независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p\). Если \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) - процесс Бернулли с параметром \(p\), то случайная величина: \[Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\] имеет биномиальное распределение и обозначается \(Y \sim Bin(n, p)\). \(Y\) может принимать значения \(0, 1, 2, \ldots, n\) (от \(0\) до \(n\) успехов).
Функция вероятности биномиального распределения
Вероятность получить ровно \(k\) успехов в \(n\) испытаниях:
\[ P(Y = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
Необходимость подсчета комбинаций
- Для каждой уникальной серии испытаний есть уникальный набор координат успехов.
- Таких наборов координат много: \((1,2)\), \((1,3)\), \(\ldots\), \((6,7)\).
- Чтобы посчитать вероятность ровно \(2\) успехов, нужно знать, сколько таких наборов координат возможно. Иными словами, сколько множеств мощности \(2\) можно извлечь из множества мощности \(7\).
- Это и есть число комбинаций: \[ C_7^2 = \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!\,5!} = 21. \]
Пусть \(p = 0.2\), \(Y \sim Bin(7, 0.2)\). Тогда \[\begin{align*} P(Y = 2) &= C_7^2 \, p^2 (1-p)^{5} = 21 \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5 = 21 \cdot 0.04 \cdot 0.32768 \approx 0.275, \\ P(Y \leq 2) &= P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) \\ &= C_7^0 \, 0.8^7 + C_7^1 \, 0.2 \cdot 0.8^6 + C_7^2 \, p^2 (1-p)^{5} \approx 0.852. \end{align*}\]
Биномиальное распределение
Основные характеристики
Для случайной величины \(Y \sim Bin(n, p)\):
Математическое ожидание: \[E[Y] = np\]
Дисперсия: \[Var[Y] = np(1-p)\]
Стандартное отклонение: \[\sigma = \sqrt{np(1-p)}\]
Наивероятнейшее число успехов \(k_0\) (мода распределения) — целое число, для которого \(P(Y=k_0)\) максимальна. При \(q = 1-p\) оно удовлетворяет \[ np - q \leq k_0 \leq np + p. \] Эквивалентная запись: \((n+1)p - 1 \leq k_0 \leq (n+1)p\). Если \((n+1)p\) целое, наивероятнейших значений два: \(k_0 = (n+1)p - 1\) и \(k_0 = (n+1)p\).
Визуализация биномиального распределения
Форма биномиального распределения зависит от параметров \(n\) и \(p\). Рассмотрим, как влияет значение \(p\) на распределение при фиксированном \(n = 20\):
Сравнение различных значений p
Визуализация биномиального распределения
p < 0.5 (например, p = 0.3): Распределение смещено влево, большинство значений сосредоточено в области малых k
p = 0.5: Распределение симметрично относительно среднего значения
p > 0.5 (например, p = 0.7): Распределение смещено вправо, большинство значений сосредоточено в области больших k
Пример: подбрасывание монеты
Подбросим честную монету 10 раз. Какова вероятность получить ровно 6 орлов?
- \(n = 10\), \(p = 0.5\), \(k = 6\), \(Y \sim Bin(10, 0.5)\)
\[P(Y = 6) = C_{10}^6 (0.5)^6 (0.5)^4 = \frac{10!}{6! \cdot 4!} (0.5)^{10}\]
\[= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{1024} = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0.205\]
Пример: контроль качества
На заводе производят детали, 3% из которых бракованные. Проверяют партию из 100 деталей.
- \(n = 100\), \(p = 0.03\) (вероятность брака)
- \(Y \sim Bin(100, 0.03)\) - количество бракованных деталей
Вероятность не найти ни одной бракованной детали: \[P(Y = 0) = C_{100}^0 (0.03)^0 (0.97)^{100} = (0.97)^{100} \approx 0.048\]