Функция распределения (кумулятивная/интегральная)

• Definition

  Функция распределения (кумулятивная/интегральная) (CDF) случайной величины \(X\) определяется как: \[ F_X(x) = P(X \leq x), \quad F_X(x): \mathbb{R} \longrightarrow [0,1] \subset \mathbb{R} \] Для дискретной случайной величины: \[ F_X(x) = \sum_{i: \, x_i \leq x} P_X(X = x_i) \]

• \(F_X(x)\) показывает вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение, не превышающее \(x\). Иными словами, сколько вероятности “скопилось”, аккумулировалось, до значения \(x\).

Свойства CDF для дискретных случайных величин

Пример 1: CDF для распределения X

Вспомним наше первое распределение:

Вычислим CDF:

График CDF для распределения X

Использование CDF для вычисления вероятностей

CDF позволяет легко вычислять вероятности попадания в интервалы:

Формулы для вычисления вероятностей