Физическое отступление
Физическое отступление
\(x_{gc} = \sum\limits_{i} x_i m_i\), при \(\sum\limits_{i} m_i = 1\).
В данном примере \(x_{gc} = 0 \cdot 0.4 + 2 \cdot 0.6 = 1.2\)
Предположим С.В., которую мы реализуем \(10^5\) раз с \(P_X(0) = 0.4\), \(P_X(2) = 0.6\). Посчитаем среднее суммы за все испытания: \[ avg = \frac{\approx 60000 \cdot 2 + \approx 40000 \cdot 0}{10^5} \approx 1.2 \]
Характеристики С.В.: Математическое ожидание
Математическое ожидание - это число, константа, которое помогает нам понять тренд значений, куда в среднем стремятся значения случайной величины на большой дистанции.
Можно рассматривать это как средний результат множества реализаций данного случайного эксперимента.
Ожидаемое значение может не входить в набор возможных значений \(\Omega_X\).
- Definition
Если \(X\) - дискретная случайная величина, то ожидание \(X\) обозначается как \(E[X]\) и определяется как: \[ E[X] = \sum \limits_{x \in \Omega_X} x P(X = x) = \sum \limits_{x \in \Omega_X} x P_X(x). \]
Характеристики С.В.: Математическое ожидание
В физическом мире:
- \(x_{gc} = \sum x_i m_i = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 1.4\)
- \(E[X] = \sum x_i \cdot P_X(X=x_i) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 1.4\)
В международной литературе функция вероятности дискретной случайной величины \(P_X(x)\) называется Probability Mass Function, своим названием явно подчеркивая аналогию, что вероятность может выступать в роли “массы” элементарного исхода. Тогда математическое ожидание можно интерпретировать как взвешенную сумму всех исходов, где в качестве веса используется вероятность.
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание: пример
Посмотрим на примеры вычисления математического ожидания на основе уже посчитанной задачи: