Случайные величины: Мотивация

  • Элементарный исход в общем может иметь различный характер: цвет, буква, звук и т.д. Но для более углубленного и полного анализа случайного эксперимента лучше работать с числами.
  • Можем ли мы также прикрепить число к каждому элементарному исходу независимо от его природы, а затем оперировать в пространстве чисел? Спойлер: это даст нам новые инструменты, которые недоступны, если мы работаем с исходами разной природы.
  • Пример: игральная кость с \(6\) гранями, \(2\) грани желтые, \(2\) грани зеленые, \(2\) грани черные, без чисел - мы можем искусственно прикрепить числа \(1, 2, 3\) к каждому цвету.

Случайные величины: Формальное определение

Результирующее ‘прикрепленное’ число мы называем случайной величиной.

  • Дискретная случайная величина \(X\) в пространстве вероятностей \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) является отображением \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\), такое что:
  1. Образ \(X(\Omega) = \Omega_X = Im \, X\) (все возможные результаты) является счетным подмножеством \(\mathbb{R}\),
  2. \(\{\omega \in \Omega: X(\omega) = x\} \in \mathcal{F}\), для \(x \in \mathbb{R}\).
  • Для упрощения мы сокращаем события вида \(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x \}\) до более простого вида \(\{ X = x \}\).

Вероятность случайной величины

  • Основной оставшийся вопрос - как находить вероятности различных значений С.В.
  • Мы знаем, что каждое уникальное значение С.В. привязано к какому-то событию из \(\mathcal{F}\). Тогда вероятность этого события и будет вероятностью получить данное значение С.В.
  • Определение. Функция вероятности дискретной случайной переменной \(X\) - это функция \(p_X(x): \mathbb{R} \rightarrow [0,1]\), заданная как: \[ p_X(x) = P(X = x) = P(A), \text{ где } A = \{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x \} \]
  • Свойства:
  1. \(p_X(x) \geq 0\) для \(\forall x \in \Omega_X\), \(p_X(x) = 0\) для \(x \notin \Omega_X\)
  2. \(\sum \limits_{x_i \in \Omega_X} p_X(x_i) = 1\).

Случайные величины: Пример

Подбрасываются две монеты. Первая монета выпадает орлом с вероятностью \(0.6\), вторая с вероятностью \(0.7\). Предположим, что результаты подбрасываний независимы, и пусть \(X\) равно общему количеству выпавших орлов. Постройте дискретную случайную величину и её функцию вероятности.

Случайные величины: Пример (решение)

  • Исходы пары монет: \((T,T)\), \((H,T)\), \((T,H)\), \((H,H)\); \(X\) — число орлов, \(\Omega_X = \{0, 1, 2\}\).

  • Каждое значение \(X\) — событие из \(\mathcal{F}\), набор исходов. Из независимости: \[\begin{align*} P(X = 0) &= P(\{(T,T)\}) = 0.4 \cdot 0.3 = 0.12, \\ P(X = 2) &= P(\{(H,H)\}) = 0.6 \cdot 0.7 = 0.42, \\ P(X = 1) &= P(\{(H,T), (T,H)\}) = 0.6\cdot 0.3 + 0.4\cdot 0.7 = 0.46. \end{align*}\]

  • Функция вероятности:

    \(\sum_{x \in \Omega_X} p_X(x) = 1\).

Случайные величины: Пример

Новое пространство вероятности

  • Как и прежде, мы можем комбинировать случайные переменные в события.

  • Например, \(A = \{ x_1, \ldots, x_k \}\), \(x_1, \ldots, x_k \in \Omega_X\).

  • Для вычисления \(P(A)\) мы используем принцип аддитивности: \[ P(A) = P(\{X = x_1\} \cup \ldots \cup \{X = x_k \}) = \sum \limits_{i=1}^{k} P(\{X = x_i\}). \]

  • В конечном счете, мы можем забыть о нашем оригинальном \((\Omega, \mathcal{F}, P)\), скрыть их ‘под капотом’ нашего случайного эксперимента. Вместо этого мы используем новое пространство \(\Omega_X\) всех возможных значений С.В. и \(p_X(x)\) как новую функцию вероятности.

Функции от случайных величин

  • Случайная величина, будучи неизвестным, но все-таки числом, может быть аргументом для какой-либо другой функции,

  • Например, если \(X\) - это количество проданных тортов, то \(Y = cX\) - это доход, где \(c\) - цена. Далее, \(T = Y - aX - b = kX - b\) может быть чистой прибылью, доход за вычетом издержек на производство. Все это - случайные величины!

Функции от случайных величин

Пример

Пусть распределение случайной величины задано таблицей

Постройте распределение случайной величины \(Y = X^2 + 10\).

Наша задача: восстановить новое пространство элементарных исходов \(\Omega_Y\) для величины \(Y\) и выразить новую функцию вероятности \(P_Y(y)\) через старую известную \(P_X(x)\).

  • \(P_Y(Y=10) = P_X(\{X=0\}) = 0.1\)

  • \(P_Y(Y=11) = P_X(\{X=1\} \cup \{X=-1\}) = P_X(\{X=1\}) + P_X(\{X=-1\}) = 0.3\)

  • \(P_Y(Y=14) = P_X(\{X=2\} \cup \{X=-2\}) = P_X(\{X=2\}) + P_X(\{X=-2\}) = 0.3\)

  • \(P_Y(Y=19) = P_X(\{X=3\}) = 0.3\)

Функции от случайных величин

Пример

Функции от случайных величин

  • Если \(Y=g(X)\), то \(Y\) это новая случайная величина, со своими характеристиками, со своими возможными значениями \(\Omega_Y\), и со своей функцией вероятности \(P_Y(y)\).

  • Построение новой функции вероятности

    Если \(Y=g(X)\), функцию вероятности для \(Y\) можно выразить через функцию вероятности для \(X\): \[ p_Y(y) = P(Y=y) = P(g(X) = y) = P(\{ X \in g^{-1}(y) \}) = \sum \limits_{x \in g^{-1}(y)} P(X = x) \]

  • Можно говорить, что функция от случайной величины порождает абсолютно новый случайный эксперимент с новым вероятностным пространством (тройкой Колмогорова):