Физическое отступление 2

  • В вероятностном мире интерпретация картинки такая, что может быть две случайные величины с одинаковым математическим ожиданием, но с кардинально разными значениями.
  • Представьте, что в одном случае вы кидаете монетку с привязанными численными значениями \(+1\) и \(-1\) (например, выигрыш - проигрыш), а в другом ту же монетку, но с привязанными значениями уже \(+1000\) и \(-1000\). Математическое ожидание в обоих случаях будет \(0\), но сравните магнитуды возможных значений!
  • Это помогает нам понять мотивацию введения новой характеристики для случайной величины - дисперсии - которая сможет охарактеризовать степень разброса значений случайной величины.

Примеры для интуиции

Система A: \(\Omega_X = \{0,1,2\}\).

\(E[X] = 0\cdot 0.25 + 1\cdot 0.5 + 2\cdot 0.25 = 1\)

\(Y = f(X) = (X - E[X])^2 = (X-1)^2\):

\(E[Y] = 0\cdot 0.5 + 1\cdot 0.5 = 0.5\)

Система B: \(\Omega_X = \{-1,1,3\}\).

\(E[X] = (-1)\cdot 0.25 + 1\cdot 0.5 + 3\cdot 0.25 = 1\)

\(Y = f(X) = (X - E[X])^2 = (X-1)^2\):

\(E[Y] = 0\cdot 0.5 + 4\cdot 0.5 = 2\)

Характеристики случайной величины

Дисперсия

  • Дисперсия случайной величины - это число, константа, которое помогает нам понять степень разброса потенциальных значений случайной величины относительно среднего.

  • Definition

    Для случайной величины \(X\) её дисперсия обозначается \(Var[X]\) (Variance) и определяется как: \[ D[X] = Var[X] = E\left[ \left( X - E[X] \right)^2 \right] \]

  • Формально говоря, это математическое ожидание новой случайной величины: \[ Y = g(X) = \left( X - E[X]\right)^2, \] описывающей квадрат расстояния между значением случайной величины \(X\) и её математическим ожиданием.

Характеристики С.В.: Дисперсия

Вычисление дисперсии

Существует упрощенная формула: \[\begin{gather*} E\left[ \left( X - E[X] \right)^2 \right] = E\left[ X^2 - 2XE[X] + (E[X])^2 \right] = \\ = E[X^2] - E\left[2 E[X] X \right] + E \left[ (E[X])^2 \right] = E[X^2] - 2 E[X] E[X] + (E[X])^2 = \\ \boxed{E[X^2] - (E[X])^2} \end{gather*}\]

В процессе мы используем свойство линейности математического ожидания, а также знание того, что \(E[X]\) - это константа, при этом \(E[c] = c\), то есть \(E \left[ E[X] \right] = E[X]\).

Свойства дисперсии

Дисперсия: пример

Посчитаем дисперсию на примере нашей задачи. Считаем уже известным, что \(E[X] = 1.2\).