Условная вероятность для многомерных величин
Событие \(\{X=x_i \} \cap \{ Y=y_j\}\) содержит ровно один элементарный исход - пару \(\{(x_i, y_j)\}\), поэтому искомая вероятность пересечения становится значением совместной функции вероятности этой пары.
Условная вероятность для многомерных величин
Условие «вырезает» в \(\Omega_{X,Y}\), оригинальном пространстве элементарных исходов, новое множество допустимых исходов.
Условие \(Y = y_j\) (столбец):
Условие \(X = x_i\) (строка):
Условная вероятность для многомерных величин
Пример
Совместная функция вероятности \(X\) и \(Y\) задана следующим образом:
Вычислите условную функцию вероятности \(X\) при условии \(Y = i\), \(i = 1, 2\).
Условная вероятность для многомерных величин
Решение
Сначала маргиналы для \(Y\) (знаменатели): \[\begin{equation*} P(Y=1) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}, \qquad P(Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}. \end{equation*}\]
\(P(X \mid Y=1)\): \[\begin{align*} P(X=1|Y=1) &= \frac{P(X=1, Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \\ P(X=2|Y=1) &= \frac{P(X=2, Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \end{align*}\]
При \(Y=1\) величина \(X\) равновероятна.
Условная вероятность для многомерных величин
Решение
\(P(X \mid Y=2)\): \[\begin{align*} P(X=1|Y=2) &= \frac{P(X=1, Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \\ P(X=2|Y=2) &= \frac{P(X=2, Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \end{align*}\]
При \(Y=2\) чаще встречается \(X=2\).
Независимость пары случайных величин
Напоминание: независимые события
Независимость пары случайных величин
- Рассмотрим каждую возможную пару событий:
Если каждая пара \(\{ X=x_i \}\) и \(\{ Y = y_j \}\) оказываются независимыми событиями, то мы говорим, что случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы.
\[\begin{equation*} \forall x_i, \; \forall y_j: \; P\{ X=x_i \} \cdot P\{ Y = y_j \} = P(\{X=x_i \} \cap \{ Y=y_j\}) = P(\{ X=x_i, Y=y_j \}). \end{equation*}\]
Независимость случайных величин
Пример
Совместная функция вероятности \(X\) и \(Y\) задана следующим образом:
Независимость случайных величин
Решение
- Маргинальные функции вероятности
Для \(X\): \[\begin{align*} P(X=1) &= \sum\limits_{j=1}^{2} P(X=1, Y=j) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \\ P(X=2) &= \sum\limits_{j=1}^{2} P(X=2, Y=j) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \end{align*}\]
Для \(Y\): \[\begin{align*} P(Y=1) &= \sum\limits_{i=1}^{2} P(X=i, Y=1) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \\ P(Y=2) &= \sum\limits_{i=1}^{2} P(X=i, Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \end{align*}\]
Независимость случайных величин
Решение
- Проверка независимости
Проверим условие независимости для пары: \[\begin{align*} P(X=1, Y=1) &= \frac{1}{8} \quad \text{и} \quad P(X=1)P(Y=1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32} \neq \frac{1}{8} \end{align*}\]
Вывод: \(X\) и \(Y\) не независимы.