Функции от многомерных случайных величин

Функции от многомерных случайных величин

Пример

Совместная функция вероятности \(X\) и \(Y\) задана следующим образом:

Рассмотрим функции \(W = XY\), \(G = X-Y\). Найдите их функции вероятности и математические ожидания.

Функции от многомерных случайных величин

Решение

Найти математическое ожидание \(E[XY]\)

Вариант 1: Через распределение новой случайной величины

Сначала соберём ряд распределения \(W = XY\):

Как только есть функция вероятности для новой величины, дальше применяем определение матожидания: \[ E[W] = \sum_w w\, p_W(w) = 1\cdot\frac{1}{8} + 2\cdot\frac{3}{8} + 4\cdot\frac{1}{2} = \frac{23}{8}. \] То есть \(E[XY] = E[W] = \frac{23}{8}\).

Функции от многомерных случайных величин

Решение

Вариант 2: Используя формулу непосредственного подсчета

Используем знание, что новая случайная величина \(W\) является функцией от случайного вектора \((X,Y)\), такая что: \(W = f(X,Y) = XY\).

\[\begin{gather*} E[W] = E[f(X, Y)] = \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} f(x_i, y_j) P(X = x_i, Y = y_j) = \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} x_i y_j P(X = x_i, Y = y_j) \\ E[W] = E[f(X, Y)] = E[XY] = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{8} \end{gather*}\]

Ответ: \(E[XY] = \frac{23}{8} = 2.875\)

Функции от многомерных случайных величин

Решение

Найти математическое ожидание \(E[X-Y]\)

Вариант 1: Через распределение новой случайной величины

Сначала соберём ряд распределения \(G = X - Y\):

Как только есть функция вероятности для новой величины, дальше применяем определение матожидания: \[ E[G] = \sum_g g\, p_G(g) = (-1)\cdot\frac{1}{4} + 0\cdot\frac{5}{8} + 1\cdot\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}. \] То есть \(E[X-Y] = E[G] = -\frac{1}{8}\).

Функции от многомерных случайных величин

Решение

Вариант 2: Используя формулу непосредственного подсчета

Используем знание, что новая случайная величина \(G\) является функцией от случайного вектора \((X,Y)\), такая что: \(G = f(X,Y) = X - Y\).

\[\begin{gather*} E[G] = E[f(X, Y)] = \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} f(x_i, y_j) P(X = x_i, Y = y_j) = \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} (x_i - y_j) P(X = x_i, Y = y_j) \\ E[X-Y] = E[G] = (1-1) \cdot \frac{1}{8} + (1-2) \cdot \frac{1}{4} + (2-1) \cdot \frac{1}{8} + (2-2) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} \end{gather*}\]

Ответ: \(E[X-Y] = -\frac{1}{8} = -0.125\)