От биномиального к распределению Пуассона
- Биномиальное удобно, когда число испытаний \(n\) известно и невелико.
- На практике часто \(n\) огромно, а \(p\) мало: редкие события на большом потоке попыток.
- Примеры: число аварий за день, звонков в колл-центр за минуту, опечаток на странице.
- Тогда удобнее модель Пуассона: считаем среднее число событий \(\lambda\) за интервал (времени или участка), а не пару \((n, p)\).
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона описывает число наступлений редкого события за фиксированный промежуток времени (или на фиксированном участке). Случайная величина \(X \sim Pois(\lambda)\) принимает значения \(0, 1, 2, \ldots\) с вероятностями \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \] где \(\lambda > 0\) — параметр: среднее число событий за выбранный интервал.
Интуиция формулы Пуассона
Возьмём \(Y \sim Bin(n, p)\) и устремим \(n \to \infty\), \(p \to 0\) так, что \(np = \lambda\) (фиксируем среднее). Подставим \(p = \lambda / n\): \[\begin{align*} P(Y = k) &= C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &= \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \underbrace{\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}}_{\to\, 1} \cdot \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to\, e^{-\lambda}} \cdot \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to\, 1}. \end{align*}\] При \(n \to \infty\) получаем \(P(Y = k) \to \dfrac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}\).
Характеристики распределения Пуассона
Для случайной величины \(X \sim Pois(\lambda)\):
Математическое ожидание: \[E[X] = \lambda\]
Дисперсия: \[Var[X] = \lambda\]
Стандартное отклонение: \[\sigma = \sqrt{\lambda}\]
Когда применима модель Пуассона
Модель \(X \sim Pois(\lambda)\) осмысленна, если одновременно выполняются условия:
Простой поток событий
Термин пришёл из смежной области — теории массового обслуживания (очереди, заявки, вызовы). Это очень прикладная история: здесь те же условия, при которых хорошо работает Пуассон, поэтому мы можем моделировать ситуации из реального мира.
Простой поток — модель потока однотипных событий во времени с тремя свойствами. Справа от стрелки — отсылка к соответствующему условию применимости Пуассона:
если поток простой с интенсивностью \(\lambda\), то число событий за время \(t\) имеет распределение \(Pois(\lambda t)\).
Пример: звонки в колл-центр
Звонки поступают с интенсивностью \(\lambda = 4\) звонка в минуту. Это пример простого потока событий: редкость на мелкой шкале, постоянная интенсивность, независимость на непересекающихся кусках времени.
Пример: решение
За минуту \(X \sim Pois(4)\).
Пример: брак на участке ленты
Брак на конвейере — пространственный аналог простого потока («время» заменено длиной ленты): в среднем \(\lambda = 1.5\) бракованных деталей на заданный участок длины \(1\). Подходит, если брак не идёт “пачками” и интенсивность по длине примерно постоянна.
Пример: решение
На участке длины \(1\) пусть \(X \sim Pois(1.5)\).